Komposisi Transformasi

KOMPOSISI TRABSFORMASI

Transformasi merupakan fungsi sehingga konsep komposisi transformasi sama halnya dengan komposisi fungsi pada umumnya. Bagaimana jika fungsinya berupa transformasi geometri seperti translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi?

Berikut ini beberapa jenis komposisi transformasi, antara lain:

1.        Komposisi Translasi

Misalkan sembarang titik A(x,y) ditranslasikan dengan T₁(a₁,b₁) kemudian dilanjutkan dengan translasi T₂(a₂,b₂). Tentukan koordinat akhir titik A tersebut!

Penyelesaian:

Sesuai dengan konsep translasi, maka persoalan ini dapat diselesaikan secara bertahap. Namun, proses translasi bertahap ini dapat melahirkan konsep komposisi translasi. Coba kamu amati!

Proses komposisi translasi tersebut dapat kamu lihat pada skema berikut:

Skema 1. Komposisi Translasi

Secara umum, matriks komposisi translasi dituliskan sebagai berikut:

Jika matriks translasi T₁ adalah  dan matriks translasi T₂ adalah  maka matriks komposisi translasi T₁◦T₂ dituliskan:

2.        Komposisi Refleks

Misalkan sembarang titik A(x,y) direfleksikan dengan C₁ dilanjutkan dengan refleksi terhadap C₂ dimana matriks refleksi C₁ adalah 

       dan matriks refleksi C₂ adalah

       Dapatkah kamu menemukan konsep komposisi refleksi?

Penyelesaian:

Dengan melakukan pencerminan bertahap, maka:

Proses di atas dapat dilihat pada skema berikut:

Skema 2. Komposisi Refleksi

Secara umum, matriks komposisi refleksi dituliskan sebagai berikut

Jika matriks refleksi C₁ 

       adalah  dan matriks C₂ adalah 

       maka matriks komposisi refleksi C₁◦C₂ atau C₂◦C₁ dituliskan:

 

3.        Komposisi Rotasi

Misalkan titik A(x,y) diputar dengan pusat O(0,0) dan sudut α₁ dilanjutkan rotasi dengan pusat O(0,0) dan sudut α₂ menghasilkan bayangan A”(x”,y”) Dapatkah kamu bangun formula komposisi rotasi?

Penyelesaian:

Masalah ini adalah komposisi rotasi dengan pusat yang sama, yaitu di O(0,0)

Perhatikan skema komposisi rotasi berikut!

Skema 3. Komposisi rotasi

Dengan demikian, diperoleh formula untuk komposisi rotasi pada pusat putar O(0,0), sebagai berikut:

Jika R_1[O,α1] dan R_2[O,α2] adalah rotasi sebesar α₁ pada sudut O(0,0) dan rotasi sebesar α₂ pada sudut O(0,0) dengan maka matriks komposisi rotasi ditulis,

4.        Komposisi Dilatasi

Misalkan titik A(x,y) dilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k₁ dilanjutkan dilatasi dengan O(0,0) dan faktor skala k₂ diperoleh koordinat hasil dilatasi A”(x”,y”). Dengan cara yang sam pada konsep komposisi pada transformasi sebelumnya, temukan konsep komposisi dilatasi pada pusat yang sama yaitu di O(0,0)!

Penyelesaian :

Perhatikan skema komposisi dilatasi berikut!

Skema 4. Komposisi dilatasi

Dengan demikian, formula untuk komposisi dilatasi pada pusat O(0,0) adalah:

Jika titik A(x,y) dirotasikan berturut-turut oleh D_1[O,k1] dan D_2[O,k2] maka,